Немного истории математики
Понятие двузначных чисел, то есть состоящих из двух цифр, берет свое начало в развитии ранних систем счета. В ранних цивилизациях счет в основном производился с помощью пальцев, и это был первый способ счета. Люди считали на пальцах рук и ног, чтобы представлять сколько у них предметов, продуктов, добычи.
По мере того как общества становились более сложными и возникала потребность в более сложных способах счета, люди начали использовать другие объекты для представления количества. Они начали использовать камешки, палочки или другие мелкие предметы, а затем помещали их в группы, чтобы представить большие числа. Такое представление называется «система подсчета».
По мере развития системы подсчета люди начали использовать символы, и именно здесь мы видим начало происхождения системы счисления. В первых системах счисления использовались простые метки или символы, например, линия для обозначения единицы, две линии для обозначения двух и так далее.
Со временем эти символы стали более сложными и изощренными, и, в конце концов, была разработана концепция позиционной записи. Разрядность — это концепция представления чисел с помощью цифр, где каждая цифра представляет разную степень числа 10. Например, в записи 42 — 4 представляет четыре десятка, а 2 — две единицы.
Эта система позволяла представлять гораздо большие числа с использованием меньшего количества символов, а также делала арифметические операции, такие как сложение и вычитание, намного более эффективными. Это та система, которую мы используем до сих пор.
Похожая статья — сколько всего трехзначных чисел.
Вычисление
Как еще можно определить сколько всего двузначных натуральных чисел. Существует 10 возможных цифр для разряда единиц и 9 возможных цифр для разряда десятков. Так как мы не можем обозначить через 0 количество десятков — так как таких чисел двузначных не бывает.
Для каждого значения в разряде десятков есть десять вариантов записи числа единиц, например, если разряд десятков 1:
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
А всего у нас может быть 9 вариантов записи разряда десятков.
Значит общее количество можно получить, умножив количество вариантов записи десятков на количество вариантов записи единиц:
9·10=90.
Другими словами, существует 90 различных натуральных двузначных чисел, которые можно составить, используя цифры от 0 до 9. Самым маленьким будет 10, а самым большим — 99.
Приведем все из них (вы можете в дальнейшем возвращаться к этой записи при решении задач на похожую тему, когда нужно «найти все делящиеся на 2», «найти все кратные 8», например):
- 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
- 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
- 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39
- 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49
- 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59
- 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69
- 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79
- 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89
- 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99.
Подсчитаем количество четных и нечетных из них. В каждом ряду будет 5 четных (например, в первом ряду это будут 10, 12, 14, 16, 18) и 5 нечетных (в первом ряду 11, 13, 15, 17, 19), так как рядов всего 9, то получаем 45 четных двузначных чисел и 45 нечетных.
Примеры
Задача 1. Найдите количество всех двузначных чисел, делящихся на 3 без остатка.
Решение:
Чтобы определить количество 2-х значных натуральных чисел, делящихся на 3, нам сначала нужно вспомнить признак делимости на 3.
Мы можем начать с перечисления всех вариантов и проверки того, какие из них делятся на 3.
Вот они: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99. Пересчитаем и увидим, что их всего 30. Но есть и более простой способ решения этой задачи — альтернативный.
В качестве альтернативы мы можем использовать более математический подход, чем простое подсчитывание. Мы знаем, что двузначные натуральные числа находятся в диапазоне от 10 до 99 и их всего 90. Мы можем найти количество тех из них, которые делятся на 3, путем деления 90 на количество возможных исходов для каждых трех.
Каждое третье, начиная с 12, будет делиться на 3: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42…93, 96, 99. То есть, повторимся для лучшего понимания, из 90 каждое третье будет делиться на 3.
Тогда если мы разделим 90 на 3, мы получим 30 без остатка.
Ответ: 30
Задача 2. Определите количество двузначных чисел, делящихся на 5 без остатка.
Решение:
Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5. Следовательно, чтобы найти количество двузначных натуральных чисел, которые делятся на 5, нам нужно найти те из них, которые оканчиваются на 0 или 5.
Сначала мы рассмотрим оканчивающиеся на 0. Это числа от 10 до 99, которые кратны 10. Мы знаем, что между 10 и 99 есть 9 чисел кратных 10, то есть 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 и 90.
Теперь мы рассмотрим те, что оканчиваются на 5. Мы знаем, что между 15 и 95 существует 9 чисел кратных 5, то есть 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.
Чтобы получить общее количество, складываем оканчивающиеся на 0 и оканчивающиеся на 5:
9 (оканчивающиеся на 0) + 9 (оканчивающиеся на 5) = 18
Следовательно, существует 18 двузначных натуральных чисел, делящихся на 5. Это числа: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90.
Ответ: 18.
Задача 3. В ящике находятся шары, на них нанесены только двузначные числа. Маша вынимает шар, определите вероятность того, что число на шаре будет делиться на 5.
Ответ: Всего чисел, кратных пяти — восемнадцать (смотрите предыдущую задачу). Маша может достать любой шар. Благоприятных исходов 18. А всего исходов — 90.
Таким образом, рассчитываем вероятность, как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов.
P=18/90= 0,2.
Ответ: 0,2.
Задача 3. Сколько всего двузначных чисел, в записи которых есть цифра 1?
Решение: опираясь на список, можно просто выписать все его элементы, удовлетворяющие условию задачи:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39
40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49
50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59
60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69
70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79
80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89
90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99.
Это будут: все элементы первого ряда 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 — здесь цифра 1 стоит в разряде десятков. И по одному элементу из каждого из следующих рядов: 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91. Итого: 18.
Ответ: 18.