Сколько уникальных чисел можно составить из определённого количества цифр
Сколько чисел можно составить из цифр?
одна из цифр нольКоличество уникальных чисел:
Просто введите количество цифр и получите ответ.
Теория
Сколько уникальных чисел Pn можно составить из n цифр?
Для того чтобы ответить на данный вопрос, воспользуемся числом перестановок из комбинаторики.
Пример
К примеру, определим, сколько чисел можно составить из 5 цифр.
P5 = 5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120
Ответ: Из пяти цифр можно составить 120 разных чисел.
При этом мы используем все 5 цифр в каждом из 120 чисел. То есть все числа пятизначные и каждая цифра в каждом числе используется только один раз.
Если одна из цифр ноль
Если одна из цифр , то вышеописанная формула не подходит. Так как первой цифрой в числе ноль быть не может. Следовательно, такие варианты перестановок нужно исключить.
Пример
К примеру, определим, сколько чисел можно составить из цифр: 0,1,2,3,4.
У нас 5 цифр, одна из которых .
P5-0 = (5-1)⋅(5-1)! = 4⋅4! = 4⋅4⋅3⋅2⋅1 = 96
Часть 2:
Урок 1. Длина ломаной. Периметр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 2. Выражения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Урок 3. Порядок действий в выражениях
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 4. Порядок действий в выражениях
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 5. Программы с вопросами
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 6. Угол. Прямой угол
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 7. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 8. Свойства сложения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 9. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 10. Вычитание суммы из числа
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 11. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 12. Вычитание числа из суммы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 13. Вычитание числа из суммы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 14. Прямоугольник. Квадрат
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 15. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 16. Площадь фигур
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 17. Единицы площади
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Урок 18. Прямоугольный параллелепипед
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 19. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 20. Умножение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 21. Компоненты умножения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 22. Компоненты умножения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 23. Площадь прямоугольника
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 24. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 25. Умножение на 0 и на 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 26. Таблица умножения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 27. Таблица умножения на 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 28. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Урок 29. Деление
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 30. Компоненты деления
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 31. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 32. Деление с 0 и 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 33. Связь умножения и деления
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 34. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 35. Виды деления
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 36. Виды деления
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 37. Таблица умножения на 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 38. Виды углов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 39. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Урок 40. Уравнения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 41. Таблица умножения на 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Урок 42. Комментирование решения уравнения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Урок 43. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Урок 44. Порядок действий в выражениях
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Урок 45. Порядок действий в выражениях
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Часть 1:
Урок 1. Цепочки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 2. Цепочки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 3. Точка. Прямая и кривая линии
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 4. Пересекающиеся и параллельные прямые
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 5. Сложение и вычитание двузначных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 6. Сложение двузначных чисел: 21 + 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 7. Сложение двузначных чисел: 21 + 39
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 8. Вычитание двузначных чисел: 40 — 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 9. Вычитание двузнаных чисел: 40 — 28
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 10. Сложение и вычитание по частям
1
2
3
4
5
6
Урок 11. Сложение двузначных чисел: 36 + 7, 36 + 17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 12. Сложение по частям: 18 + 5, 18 + 25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 13. Вычитание двузначных чисел: 32 — 5, 32 — 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 14. Вычитание по частям: 41 — 3, 41 — 23
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 15. Приемы устных вычислений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 16. Приемы устных вычислений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 17. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
Урок 18. Сотня. Счет сотням
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 19. Метр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 20. Действия с единицами длины
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 21. Название и запись трехзначных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 22. Название и запись трехзначных чисел: 204
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 23. Название и запись трехзначных чисел: 240
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 24. Сравнение трехзначных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 25. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 26. Сложение и вычитание трехзначных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 27. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 28. Сложение трехзначных чисел: 204 + 138, 162 + 153
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 29. Сложение трехзначных чисел: 176 + 145
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 30. Сложение трехзначных чисел: 167 + 45 + 308
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 31. Вычитание трехзначных чисел: 243 — 114, 316 — 152
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 32. Вычитание трехзначных чисел: 231 — 145
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 33. Вычитание трехзначных чисел: 300 — 156
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 34. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Урок 35. Операции
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 36. Обратные операции
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 37. Прямая. Луч. Отрезок
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Урок 38. Программа действий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 39. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Дополнительные задачи
1
2
3
4
5
6
7
Сколько уникальных X-значных чисел можно составить из определённого количества цифр
Сколько -значных чисел можно составить из цифр?Цифры могут повторятьсяЦифры НЕ могут повторяться
одна из цифр нольКоличество уникальных чисел:
Если цифры в числе могут повторяться
Если цифры в числе могут повторяться, то для ответа на наш вопрос можно воспользоваться числом размещений с повторениями.
| Ā | k | = nk |
| n |
Пример
К примеру, определим, сколько 2-х значных чисел можно составить из 5 цифр, при том, что цифры в числе могут повторяться.
Из пяти цифр можно составить 25 двухзначных чисел.
Если цифры в числе могут повторяться и одна из цифр ноль
| Ā | k | = (n-1)⋅nk-1 |
| n-0 |
Пример
К примеру, определим, сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр: 0,1,2,3,4 (цифры в числе могут повторяться).
| Ā | 3 | = (5-1)⋅53-1= 4⋅25 = 100 |
| 5-0 |
Из пяти цифр, одна из которых ноль, можно составить 100 трёхзначных чисел. Цифры при этом могут повторяться.
Если цифры в числе не могут повторяться
Если цифры в числе НЕ могут повторяться, то для ответа на наш вопрос можно воспользоваться количеством размещений без повторений.
Пример
К примеру, определим, сколько 2-х значных чисел можно составить из 5 цифр, при том, что цифры в числе НЕ могут повторяться.
Из пяти цифр можно составить 20 двухзначных чисел без повторений.
Пример
К примеру, определим, сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр: 0,1,2,3,4 (цифры в числе НЕ могут повторяться).
Из пяти цифр, одна из которых ноль, можно составить 48 трёхзначных чисел, если цифры при этом не могут повторяться.
Задачи и их решения
Задача №1
Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 5 7 9 без повторения цифр?
Для решения этой задачи нужно понимать, что нам важно знать количество цифр, а не какие они. То есть в данном случае цифр 6
Значит, нам надо определить, сколько шестизначных чисел можно составить из 6 цифр.
Ответ: Из цифр 1 2 3 5 7 9 можно составить 720 шестизначных чисел без повторения цифр.
Данный пример можно решить и с помощью формулы числа перестановок, так как и количество цифр в числах, и заданное количество цифр совпадают и равно 6-ти:
P6 = 6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720
Задача №2
Сколько различных чисел можно составить из цифр 5, 4, 7 и 0, если цифры в записи числа не повторяются?
Мы имеем 4 различные цифры и одна из них ноль. Число не может начинаться на ноль, значит, воспользуемся числом перестановок и формулой для варианта с нулём:
P4-0 = (4-1)⋅(4-1)! = 3⋅3! = 3⋅3⋅2⋅1 = 18
Ответ: Из цифр 5 4 7 0 можно составить 18 чисел без повторения цифр.
Другой вариант решения:
Нам даны 4 цифры, и в каждом из чисел мы должны использовать каждую из них.
Ноль не может быть первой цифрой в числе. Следовательно, для первой цифры числа мы можем использовать только 5, 4 или 7 — всего три варианта.
Для второй цифры в числе у нас есть тоже 3 варианта, так как одну цифру из четырёх мы уже использовали.
Для третьей осталось два варианта, а для четвёртой только один.
Запишем это так: 3⋅3⋅2⋅1 = 18
Мы получили тот же ответ: 18 вариантов.
Часть 1:
Урок 1. Цепочки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 2. Цепочки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 3. Точка. Прямая и кривая линии
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 4. Пересекающиеся и параллельные прямые
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 5. Сложение и вычитание двузначных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 6. Сложение двузначных чисел: 21 + 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 7. Сложение двузначных чисел: 21 + 39
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 8. Вычитание двузначных чисел: 40 — 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 9. Вычитание двузнаных чисел: 40 — 28
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 10. Сложение и вычитание по частям
1
2
3
4
5
6
Урок 11. Сложение двузначных чисел: 36 + 7, 36 + 17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 12. Сложение по частям: 18 + 5, 18 + 25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 13. Вычитание двузначных чисел: 32 — 5, 32 — 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 14. Вычитание по частям: 41 — 3, 41 — 23
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 15. Приемы устных вычислений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 16. Приемы устных вычислений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 17. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
Урок 18. Сотня. Счет сотням
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 19. Метр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 20. Действия с единицами длины
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 21. Название и запись трехзначных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 22. Название и запись трехзначных чисел: 204
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 23. Название и запись трехзначных чисел: 240
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 24. Сравнение трехзначных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 25. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 26. Сложение и вычитание трехзначных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 27. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 28. Сложение трехзначных чисел: 204 + 138, 162 + 153
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 29. Сложение трехзначных чисел: 176 + 145
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 30. Сложение трехзначных чисел: 167 + 45 + 308
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 31. Вычитание трехзначных чисел: 243 — 114, 316 — 152
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 32. Вычитание трехзначных чисел: 231 — 145
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 33. Вычитание трехзначных чисел: 300 — 156
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 34. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Урок 35. Операции
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 36. Обратные операции
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 37. Прямая. Луч. Отрезок
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Урок 38. Программа действий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 39. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Дополнительные задачи
1
2
3
4
5
6
7
Часть 3:
Урок 1:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 2:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 3:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 4:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 5:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 6:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 7:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 8:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 9:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 10:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 11:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 12:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 13:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 14:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 15:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 16:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 17:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 18:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 19:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 20:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 21:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 22:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 23:
1
2
3
4
5
6
7
8
Урок 24:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 25:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 26:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 27:
1
2
3
4
5
6
7
8
Урок 28:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 29:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 30:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 31:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 32:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 33:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 34:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 35:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урок 36:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 37:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 38:
1
2
3
4
5
6
7
8
Урок 39:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 40:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Повторение:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Часть 3:
Урок 1. Таблица умножения на 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 2. Увеличение (уменьшение) в несколько раз
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Урок 3. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 4. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 5. Таблица умножения на 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 6. Кратное сравнение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Урок 7. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Урок 8. Таблица умножения на 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 9. Окружность
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Урок 10. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Урок 11. Таблица умножения на 8 и на 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Урок 12. Тысяча
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Урок 13. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Урок 14. Объем фигуры
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 15. Умножение и деление на 10 и на 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Урок 16. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 17. Свойства умножения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Урок 18. Умножение круглых чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 19. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 20. Деление круглых чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 21. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 22. Умножение суммы на число
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 23. Единицы длины
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 24. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 25. Деление суммы на число
1
2
3
4
5
6
7
8
Урок 26. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Урок 27. Деление подбором частного
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 28. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 29. Деление с остатком
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 30. Деление с остатком
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Урок 31. Деление с остатком
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Урок 32. Сети линий. Пути
1
2
3
4
5
6
7
8
Урок 33. Дерево возможностей
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Урок 34. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 35. Решение задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Повторение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109